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Lektion 5
Binärsystem
Moin Schüler! Wie bereits angekündigt, werdet ihr heute noch ein drittes
Zaubersystem kennenlernen, das Binärsystem
(Bi)
(Zweiersystem; Basis 2; Nur die Ziffern 0 und
1; auch Dualsystem genannt). Im Binärsystem wird bei
2 Gebündelt und in die nächste Stelle
verschoben. Das hat den Nachteil, dass die Zahlen sehr lang werden. Für den
Computer hat das jedoch einen riesigen Vorteil, denn ein Computer muss "echtes"
Zählen erst beigebracht bekommen, ansonsten kennt er nur die
0 (ausgeschaltet) und die 1
(eingeschaltet). Daher ist das Binärsystem das für den Computer wichtigste System.
Aber auch der Computer kann lernen, noch weitere Systeme zu benutzen. Die wichtigsten
wären das Oktalsystem (Basis 8) weil
8 = 23 ist , also leicht vom
Dualsystem aus zu entwickeln ist und das Hexadezimalsystem (Basis
16) wegen 16=24.
Versuchen wir die Übersetzung einer Binärzahl ins Muggelsystem:
1111100111 (Bi) =
29+28+27+26+25+04+03+22+2+1 = 999
Jetzt umgekehrt die Übersetzung einer Muggelzahl ins Binärsystem.
Nehmen wir die 333(Mu).
| 3 3 3 : 2 = |
166 Rest 1 |
| 1 6 6 : 2 = |
83 Rest 0 |
| 8 3 : 2 = |
41 Rest 1 |
| 4 1 : 2 = |
20 Rest 1 |
| 2 0 : 2 = |
10 Rest 0 |
| 1 0 : 2 = |
5 Rest 0 |
| 5 : 2 = |
2 Rest 1 |
| 2 : 2 = |
1 Rest 0 |
| 1 : 2 = |
0 Rest 1 |
Also 333 (Mu) = 101001101 (Bi).
Wenn wir diese Zahl jetzt mit 3 multiplizieren, müssten
wir auf unsere erste Zahl kommen.
Versuchen wir’s.
3 (Mu) = 11 (Bi)
101001101 * 11 =
| 1 1 ( Überträge) |
| 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 ( 101001101 * 10) |
| + 1 0 1 0 0 1 1 0 1 ( 101001101 * 1) |
| 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 |
101001101 * 11 = 1111100111
Passt genau. Ihr seht, die gelernte Strategien lassen sich auch hierauf leicht anwenden.
Was die Rechnungen betrifft ist es sogar einfacher. Könnte ich jetzt eine
Binärzahl auch direkt ins Zaubersystem übertragen oder eine Zauberzahl direkt
ins Binärsystem? Nun, gehen würde es, wenn wir im Binär- oder Zaubersystem
multiplizieren, dividieren und potenzieren könnten. Bei schwierigeren Rechnungen haben
wir das jedoch immer vermieden. Wir haben jeden Schritt ins Muggelsystem übertragen,
dort gerechnet und dann zurückübersetzt. Für uns bleibt es also meist weiter
leichter, zuerst ins Muggelsystem zu übersetzen und dann weiter ins neue System.
Übersetzung vom Binär- ins Oktal- und Hexadezimalsystem und
zurück
Das Binärsystem ließe sich jedoch leicht ins Oktalsystem
(Basis 8) übersetzen, weil
8 = 23 ist, wie anfangs bereits bemerkt.
Beispiel:
Bei 1111100111 (Bi) fassen wir immer 3 Stellen zusammen,
diese 3 Stelle bilden genau die 8 Ziffern des Oktalsystem.
( 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111)(Bi.)= (0,1,2,3,4,5,6,7)(Okt.)
1111100111 (Bi)= (001)(111)(100)(111) (Bi) :
| (111) (Bi) |
| = 1*22+1*2+1 |
= 7 (Ok) |
| (100) (Bi) |
| = 1*22 |
= 4 (Ok) |
| (111) (Bi) |
| |
= 7 (Ok) |
| (001) (Bi) |
| |
= 1 (Ok) |
Also: 1111100111 (Bi) = 1747 (Ok).
Ebenso bei der Übersetzung ins Hexadezimalsystem (Basis 16).
Nur dass wir hier 16 Ziffern brauchen, also immer
4 Stellen im Binärsystem eine Ziffer im
Hexadezimalsystem ergeben.
1111100111 (Bi) = (0011)(1110)(0111) (Bi) :
| (0011) (Bi) |
| |
= 3 (Hex) |
| (1110) (Bi) |
| = 14 (Mu) |
= E (Hex) |
| (0111) (Bi) |
| |
= 7 (Hex) |
Also 1111100111 (Bi) = 3 E 7 (Hex).
Die Rückübersetzung geht genauso, nur eben rückwärts. Ich denke das
könnt ihr alleine. Das war jetzt nicht so schwer, oder?
Wer bisher Probleme mit dem Zaubersystem hatte, hat vielleicht jetzt im Binärsystem
einiges mehr verstanden.
Beim nächsten Mal, weil es kurz vor den Ferien ist, machen wir nochmal was richtig
Schönes. Ihr werdet einen Zaubertrick kennenlernen, der auf dem Binärsystem
beruht. Da euch sonst das echte Zaubern in den Ferien untersagt ist, soll dies ein kleiner
Ersatz sein.
Jetzt zu den Hausaufgaben:
- Übersetze 2 F A (Hex) ins Binärsystem.
- Denke dir Additions-, Subtraktions- , Multiplikations- und Divisionsaufgaben im Binärsystem aus
und löse sie.
- Übersetze 101010101 (Bi) zuerst ins Muggel- und von
dort ins Zaubersystem.
- Finde alle Muggelzahlen von 1 bis
63, die an der Stelle
22 (3. Stelle von rechts) eine
1 stehen haben.
(Diese Aufgabe ist wichtig und Vorbereitung auf die nächste Stunde.)
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