Lektion 4 Rechnen mit Geld (Gringotts). "Wildes" Zahlensystem Hallo liebe Schüler, jetzt beherrscht ihr alle nötigen Grundlagen. Darauf könnt ihr stolz sein. Ihr addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert. Ihr habt einen Zahlentrick von unserem berühmten ehemaligen Schüler Gauß kennengelernt. Vielen schien das sogar Spaß zu machen, denn sie haben dies im Muggelsystem mehrfach ausprobiert. Außerdem wechselt ihr inzwischen relativ problemlos Zahlen vom Zaubersystem ins Muggelsystem und umgekehrt. Den Rest des Schuljahres wollen wir uns noch mit anderen Zahlensystemen beschäftigen. Das übt und bringt neue Einsichten. Außer dem Zaubersystem gibt es in der Zauberwelt noch weiterer Systeme, z.B. das Binärsystem (das besonders diejenigen zu schätzen wissen, die gerne programmieren), aber auch "wilde" Systeme, wie das Geldsystem von Gringotts. 1 Galleone = 17 Sickel 1 Sickel = 29 Knuts Solche "wilden" Systeme gibt es auch in der Muggelwelt. Denkt nur an den Kalender und die Uhrzeiten. 1 Monat = 30 Tage (manchmal 31, manchmal 29 oder 28) 1 Tag = 24 Stunden 1 Stunde = 60 Minuten 1 Minute = 60 Sekunden Wenn ihr da versuchen wolltet, euer Alter in Minuten umzurechnen, dann wird's schon ganz schön knifflig. Wer Lust hat kann es ja mal versuchen. Oder das Rechnen mit "Dutzend" = 12, wenn man es mit dem normalen Dezimalsystem mischt. Solche Systeme gibt es aber relativ wenige in der täglichen Praxis, was nicht nur daran liegt, dass der Mensch 10 Finger hat. Kennt ihr übrigens das Zitat von Micky Maus? "Mathematik ist, wenn man bis 20 zählen kann ohne die Schuhe und Strümpfe auszuziehen." (Miss Lambda lacht laut über ihren eigenen Witz. Die Klasse hat sie noch nie lachen gehört und ist sich jetzt nicht sicher, ob sie es komisch finden oder ob sie eine Gänsehaut kriegen soll.) Was in solchen Systemen möglich ist und wo es Schwierigkeiten gibt, wollen wir heute herausarbeiten. Die Knuts haben Ziffern von 0 bis S. Die Sickel haben Ziffern von 0 bis G. Übersetzt mal 1290 (Mu) ins Gringottssystem (Gr). 1290 (Mu) = 1290 (Mu) Knuts   = 44 (Mu) Sickel und 14 (Mu) Knuts   = 2 Galleonen, 10 (Mu) Sickel und 14 (Mu) Knuts. 1290 (Mu) = 2 A E (Gr) Jetzt versucht mal zurückzuübersetzen: 2AE (Gr) = 2*17*29 + A * 29 + E = 1290 (Mu) Also das geht noch ganz gut, wenn wir auch immer aufpassen müssen, mit welcher Zahl wir multiplizieren müssen, weil die sich von Stelle zu Stelle ändern. Jetzt versuchen wir es mit der Addition und Subtraktion.                         2 A E        Muggelhilfe  A = 10, E = 14, G = 16   -   1 G F                           F = 15                        E-F geht nicht, also leihen wir uns aus der Sickelstelle eine 1 aus und tauschen sie in Knuts um. 1 Sickel =29 Knuts, also 29+14-15 (Mu) = 28 (Mu)= S (Za), 1 in den Übertrag schreiben.         1               2 A E            -   1 G F                    S            A-G-1 geht nicht, also leihen wir uns aus der Galleonenstelle einen. 1 Galleone = 17 Sickel, also diesmal etwas anders als beim ersten Tausch. Ist etwas verwirrend, aber durchaus noch leicht rechenbar. 17+10-16-1 (Mu) = 10(Mu) = A       1 1               2 A E            -   1 G F                  A S            2-1-1= 0, also sind wir fertig. Jetzt probieren wir die Multiplikation, mal sehen ob da größere Probleme auftreten. Zuerst etwas einfaches. Was könnte hier wohl einfach sein? Multipliziert mit A= 10 Knuts ? 2AE * A = 2AEA oder 2 AE0 ?????? Reingefallen, eben nicht. Das ginge auch nicht leicht in allen anderen Systemen außer dem 10-er-System. 2 A E * A = Muggelhilfe: A = 10, E = 14                         14* 10 = 140 : 29 = 4 Rest 24                         140 (Mu) Knuts = 4 Sickel und O Knuts Das O hinschreiben, 4 Sickel in den Übertrag.   4 2 A E * A =     O 10*10+4= 104 104 : 17= 6 Rest 2 Galleonen = Q Galleonen. 104 (Mu) Sickel = 6 Sickel = 6 Galleonen und 2 Sickel. die 2 hinschreiben, die 6 in den Übertrag. 6 4 2 A E * A = . 2 O 2*10+6= 26 26 (Mu) Galleonen = Q Galleonen. 2 A E * A = Q 2 O. Also wenn wir irgendwann noch lernen wollen mit 2-oder-mehr-stelligen Zahlen zu multiplizieren, dann muss es doch einfachere Rechnungen geben, wo man einfach nur die Stellenwerte zu verschieben braucht! Vielleicht ist es mit 29 = T einfacher, weil 1 Sickel ja 29 Knuts sind..... Beim ersten Schritt hilft‘s tatsächlich, aber dann nicht mehr:         2 A E * T = E * T = E O (Das Umrechnen ins Muggelsystem können wir uns dabei sparen) E kommt in den Übertrag.   E     2 A E * T =     O 10 (Mu) Sickel * 29 (Mu) + 14 (Mu Sickel ) = 304 (Mu) Sickel 304 : 17 = 17 Galeonen 15 Sickel F=15 schreiben, H = 17 kommt in den Übertrag. H E     2 A E * T =   F O 2 Galleonen * 29 (Mu) + 17 Galleonen = 75 Galleonen Für 75 haben wir keine Ziffer mehr im Zaubersystem. Wie es nach Galleonen weitergeht, wissen wir nicht. Ich schreibe mal so: (75) und meine damit die Ziffer. 2 A E * T = (75) F O Also eine echte Erleichterung war es nicht. Angenommen, wir Multiplizieren jetzt R O N mit einer 3-stelligen Zahl, nämlich zum Beispiel mit C H O (Gr) (C Galleonen, H Sickel und O Knuts). Die Multiplikation mit O könnten wir noch genauso umständlich aber machbar wie eben ausführen. Wenn wir nun aber mit H multiplizieren, muss uns bewusst sein, dass das Verrücken des gesamten Multiplikanten nach links und das Anhängen der Nullen nicht erlaubt sind, auch weil das Verrücken der Sickel in die Galleonenstelle wieder ne Multiplikation mit 29 bedeuten würde, während das der Knuts in die Sickelstelle nur eine mit 17 benötigt. Wir können das Multiplizieren mit größeren Zahlen also nicht auf das Multiplizieren mit Ziffern zurückführen, sondern müssen die ganze große 2-stellige (später 3-stellige) Zahl als Multiplikator nehmen. Hier wird es also dann echt kompliziert. Mit dem kleinen 1*1 kommt man da längst nicht mehr aus. Wer Lust dazu hat kann es ja trotzdem mal versuchen. Regelmäßige Stellenwertsysteme sind da aber wesentlich praktischer. Aus dieser Stunde möchte ich, dass ihr mitnehmt, welche Schwierigkeiten das Rechnen in "wilden" Systemen bringt. Außerdem möchte ich, dass ihr im Gringottssystem (Gr) addieren und subtrahieren und mit einstelligen Zahlen multiplizieren könnt und dadurch noch einmal neue Einsichten erzielt, was das "Bündeln" und "Verschieben" in höhere Stellen bedeutet. Deswegen folgende Hausaufgaben: Hermine, Ron und Harry besitzen alle 1 Galleone, C Sickel und 6 Knuts. Wieviel haben sie zusammen? Hermine kauft für 2 Sickel BertieBottsBohnen aller Geschmacksrichtungen, Ron für B Knuts ein neues Schulheft und Harry für 1 Galleone, B Sickel und 3 Knuts einen neuen Zauberbesen, den Nimbus2001. Wieviel haben sie noch gemeinsam übrig? Können sie noch ins Kino gehen, wenn sie sich gegenseitig Geld leihen würden? (Kino kostet für Hogwartsschüler A Sickel)