Arithmantik

Hallo, mein Name ist Carl Friedrich. E-mail: carlfriedrich@hp-fc.de.

Ich bin also Euer neuer Professor für Arithmantik. Wißt Ihr eigentlich, was Arithmantik ist? Wir beschäftigen uns ganz allgemein mit Zahlen, Zahlensystemen, Rechenregeln, vielleicht später mit Zahlenfolgen .... Wobei wir natürlich nicht so ein primitives Zahlensystem haben wie die normalen nichtzauberkundigen Muggel. Wenn wir damit fertig sind, gebe ich vielleicht einen Kurs in Geomantrie. Aber dazu später.

Was für ein Zahlensystem benutzen wir?

Als es um die Frage ging, wie unser Zahlensystem aussehen solle, waren sich erst einmal alle Zauberer einig, daß es ein stellenbasierendes Zahlensystem sein soll.

Was das ist?

Es bedeutet, daß eine Zahl eine Folge von Ziffern ist und die Größe der Zahl davon abhängt, an welcher Stelle die Ziffer steht. Falls Ihr denkt, daß alle Zahlensysteme so aussehen, dann denkt mal an die römischen Zahlen. Erstens kann man nur relativ kleine Zahlen damit darstellen, gebrochene schon gar nicht und versucht erstmal, mit römischen Zahlen zu multiplizieren. Abgesehen davon, daß es für C*C*C (1000 mal 1000 mal 1000) gar keine römische Zahl mehr gibt!

So ein stellenbasierendes Zahlensystem funktioniert dann ganz einfach (zumindest beim Zählen): Zähle die Ziffern hoch (bei der Einerstelle) bis es keine größere Ziffer mehr gibt, danach setze einfach die nächste Stelle um eins hoch und die aktuelle Stelle auf die Null (oder auf die Ziffer, die "nichts" bedeutet. Also (0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ???? 10.

Die Reihenfolge der Ziffern, also ob die Einerstelle ganz links oder ganz rechts steht, ist einfach eine Sache, über die man sich einigen muß. Da die wichtigsten Zahlen die größten sind und man in der Regel von links nach rechts liest, haben wir uns darauf geeinigt, daß die kleinste Stelle rechts steht. Wenn man sich auf eine Basis, nennen wir sie mal B, geeinigt hat, bedeutet dann

die erste Ziffer Vielfache von Eins,

die zweite Vielfache von B,

die dritte Vielfache von B*B (* bedeutet Multiplikation),

die vierte Vielfache von B*B*B, und so weiter.

Zuallererst mußten wir uns einigen, wieviele Ziffern wir benutzen wollen. Die Variante mit zehn Ziffern (Basis 10) war uns zu primitiv, weil die Zahlen einfach zu lang waren. Aus diesem Grund fielen auch Systeme auf der Basis 2 (bei den Muggeln "Dualsystem") oder Basis 8 (Oktalsystem) weg. Basis 16 (Hexadezimalsystem) war schon besser, aber genügte uns noch nicht. Einer machte den Vorschlag, die 317 als Basis zu nehmen, weil ihm sein Boß nur ein zweistelliges Jahresgehalt versprochen hatte und er unbedingt Hunderttausend Galleonen verdienen wollte. Da wir aber damals schon wußten, daß es einmal Computer geben würde und keiner eine Tastatur mit mehr als 300 Tasten haben wollte, wurde dieser Vorschlag abgelehnt. Wir wollten uns also auf jeden Fall auf die Zeichen der Tastatur beschränken. Weitere Vorschläge waren dann, alle normalen Ziffern, Buchstaben und Sonderzeichen zu nehmen, dann war aber nicht klar, ob nun "?" kleiner oder größer als "!" ist. Eindeutiger war es, Buchstaben als Ziffern zu nehmen. Der Vorschlag, kleine und große Buchstaben als Ziffern zu nehmen, setzte sich auch nicht durch, da sich die Zahlen dann schlechter aussprechen lassen. Unterscheide einfach mal zwischen den Zahlen

zehn, ZEHN und zEHn! Okay, unsere Ziffern waren also in der Reihenfolge

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B ... Z, damit hatten wir uns auf ein 36-er System geeinigt. Vorschläge, nur 32 dieser Ziffern zu nehmen, fielen aus pragmatischen Gründen weg: wie soll man einem Vorschulkind erklären, warum R und S Ziffern sind, und X nicht mehr! Und wenn man nur die Buchstaben als Ziffern nimmt (26er System), bekommt man viel schlechtere Teilbarkeitsregeln. Aber dazu später.

Wie rechnet man nun eine Zahl aus einem Zahlensystem in ein anderes Zahlensystem um?

Erst einmal ganz allgemein:

Angenommen, man hat ein System auf der Basis von B Ziffern, mit den Ziffern Y(0) Y(1) ... Y(B-1).

Im Dezimalsystem der Muggel bedeutet das B=10 ist. Also wäre Y(0)= 0, Y(1)=1, Y(2)=2 ...Y(9)=9=Y(B-1).

Und man kennt die Umrechnung der Ziffern in das vertraute System:

Z(Y(0)) ... Z(Y(B-1)).

Man hat eine Zahl im System mit der Basis B und will wissen, was diese Zahl in dem System bedeutet, in dem man rechnen kann und will. Die Ausgangszahl bestehe aus den Ziffern X(n) X(n-1) X(n-2) ... X(2) X(1) X(0).

Dann bedeutet diese Zahl:

Jetzt keinen Schreck bekommen, es wird alles erklärt!

^ bedeutet hoch (potenzieren): z.B. 2*2*2 schreibt man so: 2^3,

2*2*2*2 = 2^4.

Z(X(n))*B^n+Z(X(n-1))*B^(n-1)+...+Z(X(2))*B^2+Z(X(1))*B+Z(X(0)).

Also an unserem Beispiel:

B=36, Y(0)=0, Y(1)=1, ..., Y(9)=9, Y(A)=10, Y(B)=11, Y(Y)=34, Y(Z)=35, also z.B.

ABC entspricht:

A (10) mal 36*36 +

B (11) mal 36 +

C (12).

Also ABC = 10*36*36+11*36+12 = 12 960 + 396 + 12 = 13368.

Besser, d.h. schneller rechnet man übrigens:

ABC = (10*36+11) * 36 + 12 = 13368.

Oder z.B. die Zahl 123 in unserem System bedeutet

1023 = ((1*36+0)*36 +2)*36 +3 = (36*36 +2)*36 +3 = 1298*36 +3 = 46731.

In der anderen Richtung ist es so ähnlich:

Nimm die Ausgangszahl und dividiere durch 36.

Der Rest der Division entspricht der letzte Stelle, mit dem Ergebnis wird weitergerechnet. Dividiere wieder durch 36, der neue Rest entspricht der vorletzten Stelle, und so weiter, bis das letzte Ergebnis kleiner als 36 ist. Das entspricht dann der ersten Stelle. Also

46731 = 1298*36 + 3 (3 ist die letzte Stelle)

1298 = 36*36 + 2 (2 ist die vorletzte Stelle)

36 = 1 * 36 + 0 (ergibt 0 als vorvorletzte Stelle)

1 = 0 * 36 + 1 (fertig - 1 ist erste Stelle).

Oder

13368 = 371*36 + 12 (12 ist die letzte Stelle, in unserem Zahlensystem also C)

371 = 10 * 36 + 11 (B als vorletzte Stelle)

10 = 10 (A ist erste Stelle).

Man kann auch durch Potenzen von 36 teilen, muß aber bei den unbelegten Stellen (Ziffer 0) aufpassen. Also

46731 = 1*46656 + 75; 46656 ist 36 hoch 3.

75 = 2* 36 + 3, also

46731 entspricht 1 * 36^3 + 0 * 36^2 + 2 * 36 + 3, also 1023.

Ich hoffe, das Prinzip ist soweit klar! Dann kommen wir zur ersten Tagesaufgabe:

Ein Bauer hat ZEHN Gänse und ACHT Hühner, außerdem noch 10 Enten. Wieviel Geflügel hat er insgesamt? Dezimal rechnen könnt Ihr ja ...

Vielleicht hilft euch die Erstellung einer Zauber-Zahl-Tabelle, die ihr nach folgendem Prinzip erstellen könnt:

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K	L	M	N	O	P	Q	R	S	T	U	V	W	X	Y	Z
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35

Liebe Schüler!
Ich habe viele Mails von euch bekommen. Vielen Dank dafür, aber von euren Ergebnissen war ich entsetzt. Ich habe mich entschlossen, es euch noch einmal an einem einfachen Beispiel zu erklären.
Folgenden Eintrag fand Ginny im Tagebuch von Riddle: RON + 200 - 1 = ??? (Wenn ihr bewiesen habt, dass ihr solche Aufgaben lösen könnt, bekommt ihr von mir den Zaubertaschenrechner, wie er auch in Hogwarts verwendet wird (als Delphi-Download).) Aber nun zu der Aufgabe:
 
RON = 27*36*36 + 24*36 + 23
200 = 02*36*36 + 00*36 + 00
001 = 00*36*36 + 00*36 + 01
??? =(27+2-0)*36*36 + (24+0-0)*36 + (23-1)
??? = T O M
Welcher Tom wisst ihr sicherlich. Ich hoffe, das Prinzip wurde nun von allen verstanden.
 
So, und nun auf zum nächsten großen Themenabschnitt!

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