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Liebe Schüler,
zuerst einmal ein paar Worte zu meinerProfiaufgabe vom letzten Mal.
Es gab zwar schon erste Lösungsversuche, aber die richtige Idee war wohl noch nicht dabei. Damit diejenigen, die sich daran versuchen, erst mal verstehen, worum es geht, möchte ich einmal an eine Knobelaufgabe erinnern, die wohl die meisten kennen:
Was ist die größte Zahl, die sich mit 3 Ziffern schreiben läßt? Antwort war nicht etwa 999, wie die meisten wohl denken, sondern
9 hoch (9 hoch 9). Wegen der Regeln, welche Operation man zuerst ausführt (erst
potenzieren, dann multiplizieren, dann addieren), kann man dabei die Klammern auch weglassen. Das Ergebnis ist dabei
n i c h t das gleiche wie
(9 hoch 9) hoch 9.
Mal kurz überschlagen (ohne Taschenrechner) ist
(9 hoch 9) = 9*9*9*9*9*9*9*9*9 = (9*9*9)*(9*9*9)*(9*9*9) =
729 * 729 * 729 ist etwa 350 000 000 (ein kleines bißchen mehr,
aber wesentlich weniger als 1 000 000 000).
Dann ist
(9 hoch 9) hoch 9 also ungefähr
(350 000 000) hoch 9, hat also weniger als 9*9 = 81 Stellen.
Die Zahl
9 hoch (9 hoch 9)
ist aber größer als (9 hoch 350 000 000), und das hat
mehr als 300 000 000 Stellen (9 hoch 35 ist größer als 10 hoch 30,
aber nur im Dezimalsystem). Die eine Zahl könnte man also in einer Zeile ausschreiben, während man für die andere bei kleinster Schrift (100 Zeilen a 100 Ziffern pro Seite) mehr als 30 Bücher mit je 1000 Seiten brauchte. Das
ist schon ein kleiner Unterschied, oder? Und meine Aufgabe ist da noch etwas verschärft!
Okay, das war erst mal eine Vorbemerkung zu unserer Lektion.
Dann komme ich als nächstes zur Auflösung der letzten Aufgaben:
EINS - ZWEI= -(ZWEI-EINS) = -LDQQ
ZWEI - -DREI=ZWEI+DREI=1DNT0
-DREI - VIER= -(DREI+VIER)=-199T9
-VIER - -FUENF= -VIER + FUENF = FUENF-VIER=EYW8O
-(FUENF - ( -SECHS - SIEBEN) -ACHT)=
-(FUENF - ( -TASNWF) -ACHT)=
-(TQN2JU -ACHT)=-TQCQ21.
Die neue Version des Taschenrechners, die jetzt auch subtrahieren kann und negative Vorzeichen kennt, sollte bei den nächsten Aufgaben recht hilfreich sein (siehe Dowload-Bereich).
Lektion 5
Damit also zum neuen Stoff, der Multiplikation. Ich gehe dabei erst einmal davon aus, daß Ihr Ziffern in unserem System miteinander multiplizieren könnt (das ergibt höchstens zweistellige Zahlen). Schlimmstenfalls kann
man ja die Ziffern ins Dezimalsystem umwandeln, multiplizieren und wieder zurückverwandeln.
Wir beginnen erst einmal mit der Multiplikation einer mehrstelligen Zahl mit einer einstelligen Ziffer:
Beispiel: ZEHN * A:
Wir beginnen mit der letzten Ziffer der ersten Zahl und multiplizieren sie mit dem zweiten Faktor:
N*A
ist dezimal 23*10=230. 230 ist 6*36+14, bei uns also 6E. Die Einerstelle wird aufgeschrieben, die 10er Stelle
gemerkt.
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Z |
E |
H |
N |
* |
A |
|
|
= |
E |
Wir multiplizieren die vorletzte Ziffer der ersten Zahl mit dem zweiten Faktor und addieren die gemerkte Ziffer:
H*A
dezimal
17*10=170=4*36+26
bei uns 4Q, plus 6 ist 4W.
Wir schreiben das W, merken die 4.
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Z |
E |
H |
N |
* |
A |
|
|
= |
W |
E |
Auf zur nächsten Ziffer:
E*A entspricht 14*10=140,
140 ist 3*36 + 32, also
3W, plus 4 ist 40:
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Z |
E |
H |
N |
* |
A |
|
|
= |
0 |
W |
E |
Z*A ist
35*10=350=9*36+26, also
9Q, plus 4 ist 9U
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Z |
E |
H |
N |
* |
A |
|
|
= |
U |
0 |
W |
E |
Die Ziffern sind alle, also einfach die gemerkte Ziffer davorschreiben:
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Z |
E |
H |
N |
* |
A |
|
|
= |
9 |
U |
0 |
W |
E |
Dasselbe für ZEHN*X:
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Z |
E |
H |
N |
* |
X |
|
|
= |
W |
G |
A |
6 |
3 |
Soll man nun mehrstellige Zahlen miteinander multiplizieren, wird der erste Faktor nach einander mit den Ziffern der zweiten Zahl multipliziert, wobei die Ergebnisse untereinander
unter die entsprechende Ziffer des zweiten Faktors geschrieben werden. Danach werden die einzelnen Teilprodukte aufaddiert:
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Z |
E |
H |
N |
* |
X |
A |
|
W |
G |
A |
6 |
3 |
|||
|
9 |
U |
0 |
W |
E |
|||
|
-- |
-- |
-- |
-- |
-- |
-- |
-- |
|
|
= |
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Z |
E |
H |
N |
* |
X |
A |
|
W |
G |
A |
6 |
3 |
|||
|
9 |
U |
0 |
W |
E |
|||
|
-- |
-- |
-- |
-- |
-- |
-- |
-- |
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|
= |
W |
Q |
4 |
6 |
Z |
E |
Kommen bei den Produkten noch Vorzeichen dazu, so ist es wie im Dezimalsystem: Man berechnet das Produkt der Zahlen ohne Vorzeichen, und schreibt (beim Produkt von zwei! Zahlen ein negatives Vorzeichen davor, wenn genau eine der Ausgangszahlen ein negatives Vorzeichen hatte. Einzige Ausnahme: Einer der Faktoren war 0. dann ist das Ergebnis auch 0 (und nicht -0). Also zwei negative Zahlen multipliziert ergibt eine positive Zahl.
Das Prinzip ist also im wesentlichen das gleiche wie im Dezimalsystem. Nur das Multiplizieren der Ziffern ist etwas schwerer, da es einfach mehr Ziffern gibt. Und sich das kleine EinmalEins
zu merken, bedeutet, daß man im Dezimalsystem zweistellige Zahlen bis 35 miteinander multiplizieren kann. Deshalb ein paar Tips dazu.
Nämlich wieder die Stützstellenmethode. Das ist diesmal im Dezimalsystem nicht so einfach zu erklären, da man dort nicht so viele Möglichkeiten hat. Dort klappt es nämlich nur mit den
Stützstellen 2 auf einer Seite und 5 auf der anderen. Bei der Multiplikation wählt man diese Stützstellen so, daß ihr Produkt immer ein Vielfaches von 10 (im entsprechenden System)
ergibt. Am einfachsten ist es, wenn man ein Produkt nur aus Stützstellen hat:
8*5=40 (8 ist 4mal Stützstelle 2, 5 ist Stützstelle 5).
Das geht nicht nur bei Ziffern, sondern auch bei größeren Zahlen:
24*375=(12*2)*(75*5)=(12*75*2*5)=(12*75)*10=
(6*2)*(15*5)*10=(6*15)*(2*5)*10=(3*2)*(3*5)*10*10=
(3*3)*(2*5)*100=9*10*100=9*1000=9000.
Oder kurz
24*375=12*750 (24 halbieren, 375 verdoppeln)
=6*1500=3*3000=9000.
Kann man glatt im Kopf ausrechnen.
Klappt das nicht so einfach, muß man rechnen:
7*8 = (5+2)*8 = 5*8+2*8 = 40 + 2*(5+3) = 40+2*5+2*3=40+10+6 = 56:
Das sieht hier ziemlich umständlich aus, im Zaubersystem ist es aber eine echte Erleichterung.
Im Zaubersystem gibt es nämlich ziemlich viele Ziffern, die sich gerade zu 10 ergänzen, nämlich
2*I, 4*9, 6*6.
Welche davon am günstigsten sind, muß man von Fall zu Fall entscheiden. Am einfachsten ist
es immer, wenn einer der Faktoren gerade durch die größere Stützstelle teilbar ist:
A*I = 5*10 = 50. (A=2*5, I ist Stützstelle)
Z*I = (2*H+1)*I = H*2*I+1*I = H*10+I = HI.
R*G = (3*9)*(4*4) (Stützstelle 9, 4)
=3*4*(9*4) = C*10 =C0.
9*H = 9*(G+1) = 9*(4*4+1) = 4*(9*4)+9*1 = 4*10+9 = 49.
C*D = (2*6)*(2*6+1) = (2*2)*(6*6)+2*1*6=4*10+2*6 = 40+C = 4C.
8*J = 8*(I+1) = 4*2*I+8 = 48.
Wenn alles nicht hilft, nimmt man die Doppelsechs als Stützstelle:
W*X=(5*6+2)*(5*6+3)=5*5*6*6+2*5*6+3*5*6+2*3
=(P*10)+(A*6)+(F*6)+6=P0+(4*6+6*6)+(2*6*6+3*6)+6
=P0+(4*6+10)+(3*6+20)+6=S0+(4+3+1)*6=S0+(6+2)*6
=S0+10+2*6=T0+C=TC.
Nun also zu unserer Tagesaufgabe:
Berechne das Produkt von
YAWLT1 und Y.
Das Ergebnis, versehen mit der
Startadresse unserer Stammseite http://www.hp-fc.de/unterricht/???????.htm
vorn und
.htm hinten, führt Euch zur neuesten Version des Zauberrechners!
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