Lektion 4
 
Liebe Schüler,

erst einmal Entschuldigung, daß ich solange nichts von mir hören ließ, aber ich war zweieinhalb Wochen in Mexiko, um mich über die Zahlensysteme der Az- und Tolteken zu informieren. Wissenschaftlich gesehen hat mich dieser Aufenthalt allerdings nicht weitergebracht. Nur hinsichtlich der Fragestellungen der Geomantrie war immerhin der Flug interessant. Man fliegt nämlich erst einmal nach Norden, obwohl man doch eigentlich nach Süden will.
Eventuell war der Aufenthalt förderlich, um an neue Ideen für Textaufgaben zu kommen.
Wie zum Beispiel :
- Die Menge der Kakerlaken auf Deinem Zimmer verdoppelt sich alle zwei Tage, gleichzeitig wachsen die Kakerlaken innerhalb von zwei Wochen auf die doppelte Größe, wie lange dauert es, bis man deswegen die Schranktür nicht mehr aufbekommt... Aber das ist alles Theorie, da wir täglich die Hotelzimmer gewechselt haben.
Und als ich wieder zu Hause war, habe ich mich erst einmal mit dem Taschenrechner beschäftigt. Wer Lust hatte, konnte sich ja schon die erste Version herunterladen. Bisher klappt erst mal das Eingeben der Zahlen und das Addieren.
Der Rest ist einfach eine Frage der Zeit. Leider habe ich bisher das Problem mit der Energie nicht in den Griff bekommen. Vielleicht hätte ich doch nicht die spottbilligen Transistoren von Robotron und die polnischen Anzeigemodule nehmen sollen... Immerhin habe ich eine Energieanzeige mit eingebaut, so daß man nicht mitten in einer Rechnung von den leeren Akkus überrascht wird...
 
Einige von Euch haben anscheinend inzwischen Langeweile bekommen, und haben versucht, die Aufgabe zur Beschäftigungstherapie aus meiner Kindheit zu lösen, wobei sie das Problem noch ein bißchen verschärft haben.
Ja, ich meine Euch, Justin und Ginny. Sie wollten die Summe der Zahlen von EINS bis HUNDERT ausrechnen, und haben sich die Arbeit so geteilt, daß einer die geraden und einer die ungeraden Zahlen aufsummiert hat.
 
Die Idee ist erst einmal richtig gut, die hätte von mir stammen können. Aber die Ausführung läßt doch ein kleines bißchen zu wünschen übrig. Zum Beispiel unterscheiden sich die beiden Einzelsummen um eine ganze Stelle, obwohl es doch gleich viele Summanden von ziemlich ähnlicher Größe sind. Seltsamerweise ist die Summe der geraden Zahlen eine ungerade Zahl, während die Summe der ungeraden Zahlen (mit einer ungeraden Anzahl von Summanden) angeblich eine gerade Zahl ist. Und letztendlich ist die Summe von weniger als 10 000 000 Summanden, die jeweils kleiner als I 000 000 sind, garantiert kleiner als I0 000 000 000 000. Immerhin ist die Summe der beiden Zahlen richtig ausgerechnet.
 
Also, bitte noch einmal nachrechnen. Oder Ihr versucht Euch doch erst einmal an der einfacheren Aufgabe (Summe von 1 bis 100).
Wenn Ihr Lust habt, können wir uns an der schwereren Aufgabe auch einmal versuchen. Aber dazu ist es nützlich, mit Zauberzahlen multiplizieren zu können. Falls übrigens einer Lust hat, mal ene richtig schwere Aufgabe zu lösen, für den habe ich die folgende Aufgabe (aber Vorsicht, die ist wirklich schwer: ich habe beinahe eine Stunde für die Lösung gebraucht).
Wer diese Aufgabe löst, bekommt 1000 Punkte für sein Haus gutgeschrieben und noch eine private Belohnung, die ich mir dann ausdenken werde.
Und zwar geht es um die Zahl

x = ZEHN hoch (ZEHN hoch (ZEHN hoch ZEHN))).
Die Frage ist
1. Wie lauten die letzten zwei Ziffern dieser Zahl (natürlich im Zaubersystem)?
2. Wieviele Ziffern hat die Zahl, die angibt, wieviele Ziffern diese Zahl x hat (auch im Zaubersystem)?
3. Wieviele Ziffern (im Dezimalsystem) hätte die Dezimalzahl, die angibt, wieviele Ziffern die Zahl x im Dezimalsystem hätte?
 
Die letzten beiden Fragen sind ziemlich einfach, wenn man mit Logarithmen rechnen kann (wenn nicht, dann unmöglich). Die erste Frage läßt sich mit etwas Modulrechnung beantworten.
Der erste, der die Aufgabe löst (und den Rechenweg ungefähr beschreibt), bevor ich die Herangehensweise erklärt habe, erhält als Preis 5 Galeonen.
Die Aufgabe wurde so ähnlich einmal bei einer Matheolympiade (Bezirksolympiade Ägypten, 3. Klasse) gestellt. Allerdings mit kleineren Zahlen... Allerdings mit weniger Potenzebenen... Allerdings im normalen Dezimalsystem... Und ohne die letzten beiden Zusatzaufgaben (die aber ganz einfach sind).
 
Okay, jetzt aber erst einmal zum normalen Stoff:
Zuerst einmal zur Auflösung der Hausaufgabe: Die war diesmal ja richtig einfach:

ELF ACHT DREI EINS NEUN NULL VIER ZEHN ZWEI FUENF SECHS SIEBEN ZWOELF DREIZEHN VIERZEHN FUENFZEHN

ist die richtige Reihenfolge.

Nun aber zum Subtrahieren von Z-Zahlen.

Es geht wider ziemlich analog wie beim Rechnen im Dezimalsystem.

Als erstes gehe ich davon aus, daß man die Differenz zweier positiver Zahlen berechnen will, wobei die erste Zahl größer als die zweite sein soll. Also z.B. SIEBEN - DREI:

Zuerst schreibt man die Zahlen wieder rechtsbündig untereinander:

	S	I	E	B	E	N
_			D	R	E	I
	__	__	__	__	__	__

Dann werden von rechts ausgehend die Differenzen der Ziffern gebildet. Ist die obere Ziffer größer oder gleich der unteren, schreibt man die Differenz der Ziffern auf.

	S	I	E	B	E	N
_			D	R	E	I
	__	__	__	__	__	__
						5

 

	S	I	E	B	E	N
_			D	R	E	I
	__	__	__	__	__	__
					0	5

Ist die obere Zahl kleiner als die untere, so rechnet man 10+die obere minus die untere, oder, was das gleiche bedeutet,
man rechnet die untere minus die obere, und bildet die Differenz zu 10:
1B - R = K
oder R - B = G, 10 - G = K.
Da man sich dabei eine 1 von der Stelle davor geborgt hat, markiert man an der Stelle davor eine 1:
 
 

			1
	S	I	E	B	E	N
_			D	R	E	I
	__	__	__	__	__	__
				K	0	5

Die gemerkte 1 muß man bei der Stelle davor dann zusätzlich abziehen :
E-D =1;
Die 1 zusätzlich abziehen: 1-1 = 0;
 

			1
	S	I	E	B	E	N
_			D	R	E	I
	__	__	__	__	__	__
			0	K	0	5

Wenn nichts mehr abzuziehen ist (auch keine gemerkte 1), können die restlichen Stellen übernommen werden:
 

			1
	S	I	E	B	E	N
_			D	R	E	I
	__	__	__	__	__	__
	S	I	0	K	0	5

Da man am Anfang davon ausgegangen ist, daß man die kleinere Zahl von der größeren abzieht, geht die Sache immer auf.

Soll man nun von einer positiven Zahl eine größere (ebenfalls positive) Zahl abziehen, zieht man einfach von der größeren die kleinere Zahl ab, und ändert das Vorzeichen :

DREI minus SIEBEN = -(SIEBEN - DREI) = -SI0K05.

Soll man die Differenz zwischen zwei negativen Zahlen bilden, bildet man einfach die Differenz der Beträge (der Zahlen ohne das negative Vorzeichen), und ändert anach das Vorzeichen:

-SIEBEN minus -DREI = -(SIEBEN - DREI) = -SI0K05.

-DREI minus -SIEBEN = - (DREI - SIEBEN) = (SIEBEN - DREI) = SI0K05.

Die Differenz zwischen Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen ist eigentlich eine Addition: Das Vorzeichen des Ergebnisses richtet sich nach dem Vorzeichen der ersten Zahl:

SIEBEN minus -DREI = SIEBEN + DREI = SIS2T5.

-SIEBEN minus DREI = -(SIEBEN + DREI) = -SIS2T5.

Damit haben wir auch gleich die Addition von Zahlen mit Vorzeichen behandelt: Addition von Zahlen mit dem gleichen Vorzeichen ist eine normale Addition der Beträge, versehen mit dem gemeinsamen Vorzeichen:

SIEBEN plus DREI = SIEBEN + DREI = SIS2T5.

-SIEBEN plus -DREI = -(SIEBEN + DREI) = -SIS2T5.

Addition von Zahlen mit unterschiedlichem Vorzeichen ist eigentlich eine Subtraktion :

SIEBEN + -DREI = SIEBEN - DREI = SI0K05.

-SIEBEN + DREI = DREI - SIEBEN  = -SI0K05.

Beim Addieren lassen sich die beiden Summanden vertauschen, beim Subtrahieren bedeutet ein Vertauschen der beiden Zahlen einen Vorzeichenwechsel.

Um sich die Differenzen der Ziffern zu merken, kann ich nur wieder auf das Stützstellenrechnen verweisen: Wie bei der Addition muß man die Stützstellen einzeln voneinander abziehen, und die kleinen Reste einzeln voneinander abziehen: also
z.B.
beim Rechnen mit den Stützstellen 0,9,I,R
10-R=9, 10-I=I, 10-9=R
R-I=9 R-9=I
I-9=9

N - I = (I+5) - (I+0) = 5.
B-R = - (R-B) = -( R - (9+2) )= - ((R-9) + (0-2) ) = - (I - 2) = -G
=10-(I-2)-10 = (10-I) +2 -10 = I+2 -10 = K -10
(also K mit Übertrag 1 bei der nächsten Stelle).

Das Rechnen mit Ziffern ist beim Addieren und Subtrahieren wahrscheinlich noch recht einfach, beim Multiplizieren (was in der nächsten Lektion kommt), aber schon ziemlich schwierig. Dann macht sich das Rechnen mit Stützstellen echt bezahlt. Immerhin entspricht das kleine Einmaleins in unserem System dem Kopfrechnen mit zweistelligen Zahlen bis 35. Und wer kann das schon? Mit ein paar Tips kann man das dann auch im Dezimalsystem benutzen. Und mit ein paar zusätzlichen Tricks (die dann in der übernächsten Lektion kommen,) kann man sogar ein paar 4-stellige Zahlen im Kopf miteinander multiplizieren.
Z.B. kann man innerhalb von zwei Sekunden das Produkt von
1268 und 1332 im Kopf ausrechnen : 1688976 . Aber dazu später.

Nun also zu unserer Tagesaufgabe :
Berechnet die Differenzen!

EINS - ZWEI
ZWEI - -DREI
-DREI - VIER
-VIER - -FUENF
-(FUENF - ( -SECHS - SIEBEN) -ACHT).

Okay, das reicht erst einmal. Wenn die meisten das Ergebnis raushaben, kommt in der nächten Stunde der Taschenrechner, der auch subtrahieren und mit Vorzeichen umgehen kann!

Übrigens bin ich gespannt, ob jemand meine Profiaufgabe schafft. Aber laßt nicht die Köpfe hängen, wenn Ihr es nicht schafft. Wahrscheinlich hätten 99 Prozent der gewöhnlichen Mathelehrer ein Problem damit ...

So, liebe Schüler - das Schuljahr neigt sich dem Ende, daher müssen wir jetzt erstmal wieder ranklotzen!In Lektion 5 lernen wir zu Multiplizieren!

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